Question

4．已知定点M（1，0），A、B是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的两动点，且$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，可得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{MA}$•（$\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}$）=${\overrightarrow{MA}}^{2}$，设A（2cosα，sinα），把${\overrightarrow{MA}}^{2}$用含有α的三角函数表示，配方后可求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{MA}$•（$\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}$）=${\overrightarrow{MA}}^{2}$，
设A（2cosα，sinα），则
${\overrightarrow{MA}}^{2}=（2cosα-1）^{2}$+sin²α=3cos²α-4cosα+2=3（cosα-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，
∴当cosα=$\frac{2}{3}$时，${\overrightarrow{MA}}^{2}$的最小值为$\frac{2}{3}$．
即$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$的最小值是$\frac{2}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．