Question

19．已知函数f（x）=cosx（sinx+$\sqrt{3}$cosx）-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）设α＞0，若函数g（x）=f（x+α）为奇函数，求α的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由题意可得g（0）=0，即$sin（2α+\frac{π}{3}）=0$，由此求得α的最小正值．

解答 （Ⅰ）解：$f（x）=cosx（sinx+\sqrt{3}cosx）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$sinxcosx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}（2{cos^2}x-1）$=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x$=$sin（2x+\frac{π}{3}）$，
所以函数f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}$，
所以函数f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]$，k∈Z．
（Ⅱ）解：由题意，得$g（x）=f（x+α）=sin（2x+2α+\frac{π}{3}）$，
因为函数g（x）为奇函数，且x∈R，所以g（0）=0，即$sin（2α+\frac{π}{3}）=0$，
所以$2α+\frac{π}{3}=kπ$，k∈Z，解得$α=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$，k∈Z，验证知其符合题意．
又因为α＞0，所以α的最小值为$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的奇偶性，属于基础题．