Question

2．已知数列{a_n}满足a₁=9，a_n+1=a_n+2n+5；数列{b_n}满足b₁=$\frac{1}{4}$，b_n+1=$\frac{n+1}{n+2}$b_n（n≥1）．
（1）求a_n，b_n；
（2）记数列{${\frac{b_n}{{\sqrt{a_n}}}}$}的前n项和为S_n，证明：$\frac{1}{12}$≤S_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系，利用累加法和累积法进行求解即可．
（2）求出数列{${\frac{b_n}{{\sqrt{a_n}}}}$}的通项公式，利用裂项法进行求解，结合不等式的性质进行证明即可．

解答 解：（1）由a_n+1=a_n+2n+5得a_n+1-a_n=2n+5，
则a₂-a₁=7，
a₃-a₂=9，
…
a_n-1-a_n-2=2（n-2）+5，
a_n-a_n-1=2（n-1）+5=2n+3
等式两边同时相加得
a_n-a₁=$\frac{（7+2n+3）}{2}$×（n-1）=（5+n）（n-1）=n²+4n-5，
则a_n=a₁+n²+4n-5=n²+4n-5+9=n²+4n+4，
所以数列{a_n}的通项公式为${a_n}={（{n+2}）^2}$．
又∵${b_1}=\frac{1}{4}$，${b_{n+1}}=\frac{n+1}{n+2}{b_n}（n≥1）$，
∴$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{n+1}{n+2}$，∴$\frac{b_2}{b_1}=\frac{2}{3}$，$\frac{b_3}{b_2}=\frac{3}{4}$，$\frac{b_4}{b_3}=\frac{4}{5}$，…，$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{n}{n+1}$，
将上述（n-1）个式子相乘，得$\frac{{b{\;}_n}}{b_1}=\frac{2}{n+1}$，即${b_n}=\frac{1}{2n+2}（n∈{N^*}）$．…（5分）
（2）∵$\frac{b_n}{{\sqrt{a_n}}}=\frac{1}{{（{n+2}）（{2n+2}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）$．
∵${S_n}=\frac{1}{2}[{（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）}]$=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}}）=\frac{1}{4}-\frac{1}{2n+4}＜\frac{1}{4}$，
$又∵{S_n}≥\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）=\frac{1}{12}$，∴$\frac{1}{12}≤{S_n}＜\frac{1}{4}．…（{（10分）}）$

点评 本题主要考查递推数列的应用以及数列求和，利用累加法，累积法，以及裂项法求出数列的通项公式是解决本题的关键．