Question

已知抛物线x²=2py的焦点与双曲线2y²-2x²=1的一个焦点重合，若过该抛物线上的一点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于

1

2

，求B纵坐标．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的焦点，即为抛物线的焦点，进而得到抛物线方程，再由导数的几何意义，求出导数，求出切线的斜率，求出切线方程，分别得到与x，y轴的交点，运用三角形的面积公式，解方程即可得到B的纵坐标．

解答： 解：双曲线2y²-2x²=1即

y2

1 2

-

x2

1 2

=1的焦点为（0，±1），
抛物线x²=2py的焦点为（0，

p

2

），
则

p

2

=±1，即有p=±2．
则抛物线方程为x²=±4y，
若为x²=4y，则设B（m，

m2

4

），
由y′=

1

2

x，则切线的斜率为k=

1

2

m，
切线方程为y-

1

4

m²=

1

2

m（x-m），
令x=0可得y=-

1

4

m²，令y=0，则x=

1

2

m，
则围成的三角形的面积为

1

2

，可得

1

2

•|

1

2

m|•|-

1

4

m²|=

1

2

，
解得m=±2，
则B的纵坐标为1；
若抛物线方程为x²=-4y，
同样方法，可得B的纵坐标为-1．

点评：本题考查抛物线的方程的运用，考查导数的运用：求切线方程，考查三角形的面积公式，考查运算能力，属于基础题．