Question

6．如图，已知ABCDEF是正六边形，GA、ND都垂直于平面ABCDEF，平面FGN交线段DE于点R，点M是CD的中点，AB=DN=1，AG=2．
（1）求证：AM∥平面GFRN；
（2）求二面角A-GF-N的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，直线AF，AC，AG分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用和向量法能证明AM∥平面GFRN．
（2）求出平面FRNG的法向量和平面AGF的法向量，利用向量法能求出二面角A-GF-N的余弦值．

解答 证明：（1）由正六边形的性质得AF⊥AC
以A为原点，直线AF，AC，AG分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，$\sqrt{3}$，0），D（-1，$\sqrt{3}$，0），N（-1，$\sqrt{3}$，1），
F（-1，0，0），G（0，0，2），M（-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{FG}$=（1，0，2），$\overrightarrow{FN}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
设平面FRNG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{FG}•\overrightarrow{n}=x+2z=0}\\{\overrightarrow{FN}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}y+z=0}\end{array}\right.$，取x=6，得$\overrightarrow{n}$=（6，$\sqrt{3}，-3$），
∵$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}$=6×$（-\frac{1}{2}）+\sqrt{3}×\sqrt{3}+0×（-3）=0$，
∴$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∵AM?平面FRNG，
∴AM∥平面GFRN．
解：（2）由（1）得平面FRNG的法向量$\overrightarrow{n}$=（6，$\sqrt{3}$，-3），
平面AGF的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{36+3+9}}$=$\frac{1}{4}$，
由图形知二面角A-GF-N的平面角为钝角，
∴二面角A-GF-N的余弦值为-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．