Question

19．已知函数f（x）=6-12x+x³．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）求过点P（3，-3）并且与函数f（x）图象相切的切线方程．

Answer 1

分析 （1）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）设出切点坐标（a，6-12a+a³），表示出切线方程，将P代入方程，求出a的值，求出切线方程即可．

解答 解：（1）f′（x）=-12+3x²，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜2，
故f（x）在（-∞，-2）递增，在（-2，2）递减，在（2，+∞）递增，
故f（x）_极大值=f（-2）=22，f（x）_极小值=f（2）=-10．
（2）设切点坐标是（a，6-12a+a³），
由f′（x）=-12+3x²，得f′（a）=-12+3a²，
故切线方程是：y-（6-12a+a³）=（-12+3a²）（x-a），
将P（3，-3）代入方程得：-3-（6-12a+a³）=（-12+3a²）（3-a），
整理得：2a³-9a²+27=0，即（a-3）²（2a+3）=0，
解得：a=3或a=-$\frac{3}{2}$，
故切线方程是：15x-y-48=0或21x+4y-51=0．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查切线方程问题，是一道中档题．