Question

1．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=8，S₄=40．数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n-2b_n+3=0，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为奇数}\\{{b}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$，求数列{c_n}的前2n项和P_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项a_n，运用n=1时，b₁=T₁，n＞1时，b_n=T_n-T_n-1，求出b_n；
（Ⅱ）写出c_n，然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=8}\\{4{a}_{1}+6d=40}\end{array}\right.$，
解得a₁=d=4，
∴a_n=4n，
∵T_n-2b_n+3=0，∴当n=1时，b₁=3，当n≥2时，T_n-1-2b_n-1+3=0，
两式相减，得b_n=2b_n-1，（n≥2）
则数列{b_n}为等比数列，
∴b_n=3•2^n-1；                        
（Ⅱ）c_n=$\left\{\begin{array}{l}{4n，n为奇数}\\{3•{2}^{n-1}，n为偶数}\end{array}\right.$．
当n为偶数时，P_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=（4+12+…+8n-4）+（6+24+…+3•2^2n-1）
=4n+$\frac{1}{2}$n（n-1）•8+$\frac{6（1-{4}^{n}）}{1-4}$
=2²ⁿ⁺¹+4n²-2．

点评 本题主要考查等差数列和等比数列的通项与求和公式的运用，考查方程的思想在数列中的运用，同时考查数列的通项与前n项和的关系式，考查数列的求和方法：分组求和，是一道综合题．