题目内容
6．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a5=2a3+a4，且S5=62（1）求数列{an}的通项公式
（2）设bn=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，求数列{bn}的前n项和为Tn．
分析 （1）设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q＞0，由a5=2a3+a4，且S5=62，可得${a}_{3}{q}^{2}=2{a}_{3}+{a}_{3}q$，$\frac{{a}_{1}（{q}^{5}-1）}{q-1}$=62，解得q，a1，即可得出．
（2）${S}_{n}=\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2n+1-2．可得bn=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n+1}-2）（{2}^{n+2}-2）}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}-2}-\frac{1}{{2}^{n+2}-2}$，利用“裂项求和”方法即可得出．
解答 解：（1）设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q＞0，∵a5=2a3+a4，且S5=62，
∴${a}_{3}{q}^{2}=2{a}_{3}+{a}_{3}q$，$\frac{{a}_{1}（{q}^{5}-1）}{q-1}$=62，解得q=2=a1，
∴an=2n．
（2）${S}_{n}=\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2n+1-2．
bn=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n+1}-2）（{2}^{n+2}-2）}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}-2}-\frac{1}{{2}^{n+2}-2}$，
∴数列{bn}的前n项和为Tn=$（\frac{1}{{2}^{2}-2}-\frac{1}{{2}^{3}-2}）$+$（\frac{1}{{2}^{3}-2}-\frac{1}{{2}^{4}-2}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n+1}-2}-\frac{1}{{2}^{n+2}-2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n+2}-2}$．
点评 本题考查了“裂项求和”方法、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
①若m∥n，n?α，则m∥α
②若m⊥α，m∥β，则α⊥β
③α∥β，α∥γ，则β∥γ
④若α⊥β，m∥α，则m⊥β
其中正确命题的序号是（ ）
| A． | ①③ | B． | ①④ | C． | ②③ | D． | ②④ |
如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为α=60°，β=45°，如果此时气球的高度h是10米，则河流的宽度BC=10-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$米．| A． | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{10}}{2}$ | C． | $\frac{5}{2}$ | D． | $\frac{3}{2}$ |
如图，某船在海上航行中遇险发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船在方位角45°方向，相距10海里的C处，还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9海里的速度行驶，救生艇立即以每小时21海里的速度前往营救，则救生艇与呼救艇与呼救船在B处相遇所需的最短时间为$\frac{2}{3}$小时．| A． | “$sinθ=\frac{1}{2}$”是“θ=30°”的充分不必要条件 | |
| B． | 命题p：?n0∈N，${2^{n_0}}＞1000$，则￢p：?n∈N，2n≤1000 | |
| C． | 命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0” | |
| D． | 命题“若?x∈（0，+∞），则2x＜3x”是真命题 |