题目内容

在平面直角坐标系xOy中，过点A₁（x₁，0）、A₂（x₂，0）分别作x轴的垂线与抛物线x²=2y分别交于点 $数学公式$ ，直线 $数学公式$ 与 x轴交于点A₃（x₃，0），这样就称x₁、x₂确定了x₃．同样，可由x₂、x₃确定x₄，…，若x₁=2，x₂=3，则x₅=________．

$\text{[math]}$
分析：由A₁（2，0）、A₂（3，0），计算出A₁'（2，2）、A₂'（3， $\text{[math]}$ ），从而得到直线A₁'A₂'方程，令y=0得到A₃（ $\text{[math]}$ ，0），再结合抛物线方程得A₃'（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），然后再类似地求出A₄'的坐标，求出直线A₃'A₄'方程，再令y=0，即可得到x₅的值．
解答：∵A₁（x₁，0）、A₂（x₂，0）且x₁=2，x₂=3，
∴结合抛物线x²=2y方程，得A₁'（2，2）、A₂'（3， $\text{[math]}$ ）
因此可得直线A₁'A₂'斜率为k₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
可得A₁'A₂'方程：y-2= $\text{[math]}$ （x-2），令y=0，得A₃（ $\text{[math]}$ ，0），
将x= $\text{[math]}$ 代入抛物线x²=2y方程，得A₃'（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
类似地算出A₂'A₃'斜率为k₂= $\text{[math]}$ ，得A₂'A₃'方程：y- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ），
令y=0，得A₄（ $\text{[math]}$ ，0），抛物线x²=2y方程，得A₃'（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
∴A₂'A₃'斜率为k₃= $\text{[math]}$ ，得A₃'A₄'方程：y- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ），
最后令y=0，得x₅= $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题给出抛物线方程，通过两点确定的直线找到它在x轴上的截距，如此反复求第5个点的横坐标，着重考查了直线的方程和抛物线的简单性质等知识，属于基础题．