Question

12．已知$cos（α+\frac{2}{3}π）=\frac{4}{5}，-\frac{π}{2}＜α＜0$，则$sin（α+\frac{π}{3}）+sinα$等于（　　）

• A． $-\frac{{4\sqrt{3}}}{5}$
• B． $-\frac{{3\sqrt{3}}}{5}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{5}$
• D． $\frac{{4\sqrt{3}}}{5}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+$\frac{2π}{3}$）的值，再利用两角和差的三角公式求得 cosα=cos[（α+$\frac{2π}{3}$）-$\frac{2π}{3}$]以及sinα=sin[（α+$\frac{2π}{3}$）-$\frac{2π}{3}$]的值，可得要求式子的值．

解答 解：∵$cos（α+\frac{2}{3}π）=\frac{4}{5}，-\frac{π}{2}＜α＜0$，∴sin（α+$\frac{2π}{3}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+\frac{2π}{3}）}$=$\frac{3}{5}$，
而 cosα=cos[（α+$\frac{2π}{3}$）-$\frac{2π}{3}$]=cos（α+$\frac{2π}{3}$）cos$\frac{2π}{3}$+sin（α+$\frac{2π}{3}$）sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$，
∴sinα=sin[（α+$\frac{2π}{3}$）-$\frac{2π}{3}$]=sin（α+$\frac{2π}{3}$）cos$\frac{2π}{3}$-cos（α+$\frac{2π}{3}$）sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{-3-4\sqrt{3}}{10}$，
则$sin（α+\frac{π}{3}）+sinα$=sinαcos$\frac{π}{3}$+cosαsin$\frac{π}{3}$+sinα=$\frac{3}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=-$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，
故选：A．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．