Question

14．如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上有一个点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，当∠ABF=$\frac{π}{12}$时，椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 设椭圆的左焦点为F₁，连结AF₁，BF₁，通过|AB|=|F₁F|=2c，所以在Rt△ABF中，|AF|=2csin$\frac{π}{12}$，
|BF|=2ccos$\frac{π}{12}$，由椭圆定义，转化求解离心率即可．

解答 解：设椭圆的左焦点为F₁，连结AF₁，BF₁，由对称性及AF⊥BF可知，四边形AFBF₁是矩形，所以|AB|=|F₁F|=2c，所以在Rt△ABF中，|AF|=2csin$\frac{π}{12}$，
|BF|=2ccos$\frac{π}{12}$，由椭圆定义得：
2c（cos$\frac{π}{12}$+sin$\frac{π}{12}$）=2a，即：
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{cos\frac{π}{12}+sin\frac{π}{12}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}+\frac{π}{12}）}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．