Question

已知函数f（x）=ax²-2x+lnx．
（I）函数f（x）在x=1与x=

1

2

处的切线平行，求实数a的值；
（Ⅱ）若a≥0，划分函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）函数f（x）在区间[2，4]上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数由f′(1)=f′(

1

2

)求得a的值；
（Ⅱ）求出原函数的导函数f′(x)=

1

x

(2ax2-2x+1)，分a=0，0＜a＜

1

2

，a≥

1

2

三种情况由导函数的符号判断原函数的单调期间；
（Ⅲ）把函数f（x）在区间[2，4]上为增函数，转化为f′(x)=

1

x

(2ax2-2x+1)≥0在[2，4]上恒成立，即2a-

2

x

+

1

x2

≥0在[2，4]上恒成立，令t=

1

x

换元后得到t²-2t+2a≥0在区间[

1

4

，

1

2

]上恒成立．然后由函数的单调性求得最小值得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=ax²-2x+lnx，得f′(x)=2ax-2+

1

x

，
由题意，f′(1)=f′(

1

2

)，即2a-1=a，解得a=1；
（Ⅱ）f′(x)=

1

x

(2ax2-2x+1)，
①当a=0时，f′(x)=

1

x

(-2x+1)，在区间（0，

1

2

]上f′（x）≥0，f（x）为增函数；
在区间[

1

2

，+∞）上f′（x）≤0，f（x）为减函数；
②当0＜a＜

1

2

时，2a²-2x+1=0的根为x1=

1- 1-2a

2a

，x2=

1+ 1-2a

2a

．
在区间（0，

1- 1-2a

2a

]上f′（x）≥0，f（x）为增函数；在区间[

1- 1-2a

2a

，

1+ 1-2a

2a

]上f′（x）≤0，
f（x）是减函数；在区间[

1+ 1-2a

2a

，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）为增函数；
③当a≥

1

2

时，△=4-8a≤0，f′（x）≥0，在区间（0，+∞）上f′（x）≥0恒成立，函数在（0，+∞）上为增函数．
（Ⅲ）函数f（x）在区间[2，4]上为增函数，则f′(x)=

1

x

(2ax2-2x+1)≥0在[2，4]上恒成立，等价于
2a-

2

x

+

1

x2

≥0在[2，4]上恒成立，
令t=

1

x

，则等价于t²-2t+2a≥0在区间[

1

4

，

1

2

]上恒成立．
∵g（x）=t²-2t+2a在区间[

1

4

，

1

2

]上为减函数，
∴g(t)min=g(

1

2

)=-

3

4

+2a≥0，即a≥

3

8

．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，是压轴题．