Question

8．某农户承包了一块苹果园，每年投入成本为10000元，苹果产量和市场价格均具有随机性，且互不影响，根据多年统计数据进行分析，其产量和市场价格如表：

产量（kg）	4000	5000
概率	0.5	0.5

苹果的市场价格（元/千克）	8	10
概率	0.4	0.6

（1）设X表示这个果园每年的利润，求X的分布列和期望；
（2）求3年中至少有2年的利润不少于30000元的概率．

Answer 1

分析 （1）由题意X的可能取值为22000，30000，40000，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
（2）这个果园每年的利润不少于30000元的概率p₁=P（X=30000）+P（X=40000）=0.8．由此能求出3年中至少有2年的利润不少于30000元的概率．

解答 解：（1）∵某农户承包了一块苹果园，每年投入成本为10000元，
∴根据多年统计数据进行分析，由其产量和市场价格表，得：
X的可能取值为22000，30000，40000，
P（X=22000）=0.5×0.4=0.2，
P（X=30000）=0.5×0.6+0.4×0.5=0.5，
P（X=40000）=0.5×0.6=0.3，
∴X的分布列为：

X	22000	30000	40000
P	0.2	0.5	0.3

EX=22000×0.2+30000×0.5+40000×0.3=31400．
（2）由（1）知这个果园每年的利润不少于30000元的概率p₁=P（X=30000）+P（X=40000）=0.8．
∴3年中至少有2年的利润不少于30000元的概率为：
p=${C}_{3}^{2}0．{8}^{2}（1-0.8）+{C}_{3}^{3}（0.8）^{3}$=0.896．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．