Question

15．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BC=2，BB₁=3，从点A出发沿表面运动到C₁点的最短路程是$3\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求A点到C₁的最短距离，由两点之间直线段最短，想到需要把长方体剪开再展开，把A到C₁的最短距离转化为求三角形的边长问题，根据实际图形，应该有三种展法，展开后利用勾股定理求出每一种情况中AC₁的长度，比较三个值的大小后即可得到结论．

解答 解：长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面可有三种不同的方法展开，
如图所示．
，
AB=1，BC=2，BB₁=3．
表面展开后，依第一个图形展开，AC₁=$\sqrt{（3+2）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{26}$．
依第二个图形展开，AC₁=$\sqrt{（1+2）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
依第三个图形展开，AC₁=$\sqrt{（3+1）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
三者比较，得A点沿长方形表面到C₁的最最小值为$3\sqrt{2}$．
故答案为：$3\sqrt{2}$．

点评 本题考查了点、线、面之间的距离，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了数学转化思想方法，解答的关键是想到对长方体的三种展法，是中档题．