Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，x＞a}\\{{x}^{2}+5x+2，x≤a}\end{array}\right.$函数g（x）=f（x）-2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是[-1，2）．

Answer 1

分析 化简g（x）=f（x）-2x=$\left\{\begin{array}{l}{-x+2，x＞a}\\{{x}^{2}+3x+2，x≤a}\end{array}\right.$，而方程-x+2=0的解为2，方程x²+3x+2=0的解为-1，-2；故只需$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{-1≤a}\\{-2≤a}\end{array}\right.$，从而可得答案．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，x＞a}\\{{x}^{2}+5x+2，x≤a}\end{array}\right.$，
∴g（x）=f（x）-2x=$\left\{\begin{array}{l}{-x+2，x＞a}\\{{x}^{2}+3x+2，x≤a}\end{array}\right.$，
而方程-x+2=0的解为2，方程x²+3x+2=0的解为-1，-2；
若函数g（x）=f（x）-2x恰有三个不同的零点，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{-1≤a}\\{-2≤a}\end{array}\right.$，
解得-1≤a＜2，
即实数a的取值范围是[-1，2）．
故答案为：[-1，2）．

点评 本题考查了分段函数的化简与函数零点的判断，属于中档题．