Question

设方程x3-

4

5

+x=0的实数根为x₁，方程(x-

4

5

)3+x=0的实数根为x₂，则x₁+x₂=

4

5

．

Answer 1

分析：由已知：方程x3-

4

5

+x=0的实数根为x₁，方程(x-

4

5

)3+x=0的实数根为x₂．可得

x

3 1

-

4

5

+x1=0，(x2-

4

5

)3+x2=0．两式相加利用立方和公式即可得到(x1+x2-

4

5

)[

x

2 1

-x1(x2-

4

5

)+(x2-

4

5

)2+1 ]=0，而

x

2 1

-x1(x2-

4

5

)+(x2-

4

5

)2+1=[x1-

1

2

(x2-

4

5

)]2+

3

4

(x2-

4

5

)2+1＞1．因此必有x₁+x₂-

4

5

=0即可．

解答：解：∵方程x3-

4

5

+x=0的实数根为x₁，方程(x-

4

5

)3+x=0的实数根为x₂，
∴

x

3 1

-

4

5

+x1=0，(x2-

4

5

)3+x2=0．
两式相加得(x1+x2-

4

5

)[

x

2 1

-x1(x2-

4

5

)+(x2-

4

5

)2+1 ]=0，
∵

x

2 1

-x1(x2-

4

5

)+(x2-

4

5

)2+1=[x1-

1

2

(x2-

4

5

)]2+

3

4

(x2-

4

5

)2+1＞1．
∴x₁+x₂=

4

5

．
故答案为

4

5

．

点评：本题考查了函数的零点、立方和公式、配方法等基础知识与基本方法，属于基础题．