Question

7．已知sin（α-2β）=-$\frac{2}{3}$，cos（2α-β）=$\frac{1}{4}$，其中0＜α＜$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$＜β＜$\frac{3π}{4}$，则cos（α+β）=$\frac{2\sqrt{15}-\sqrt{5}}{12}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得cos（α-2β） 和sin（2α-β）的值，再利用两角和差的余弦公式求得 cos（α+β）=cos[（2α-β）-（α-2β）]的值．

解答 解：∵sin（α-2β）=-$\frac{2}{3}$＜0，其中0＜α＜$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$＜β＜$\frac{3π}{4}$，∴α-2β∈（-$\frac{3π}{2}$，-$\frac{3π}{4}$），
∴α-2β∈（-π，-$\frac{3π}{4}$），∴cos（α-2β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α-2β）}$=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∵cos（2α-β）=$\frac{1}{4}$＞0，其中0＜α＜$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$＜β＜$\frac{3π}{4}$，∴2α-β∈（-$\frac{3π}{4}$，0），∴2α-β∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴sin（2α-β）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（2α-β）}$=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴cos（α+β）=cos[（2α-β）-（α-2β）]=cos（2α-β）cos（α-2β）+sin（2α-β）sin（α-2β）=$\frac{1}{4}•（-\frac{\sqrt{5}}{3}）$+（-$\frac{\sqrt{15}}{4}$）•（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{2\sqrt{15}-\sqrt{5}}{12}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{15}-\sqrt{5}}{12}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．