已知定义在R上的函数f=e-x.且f(0)=0则下列命题正确的是①②③④．(写出所有正确命题的序号)①f(x)有极大值.没有极小值,②设曲线f(x)上存在不同两点A.B处的切线斜率均为k.则k的取值范围是$-\frac{1}{e^2}＜k＜0$,③对任意x1.x2∈.都有$f({\frac{{{x 1}+{x 2}}}{2}})≤\frac{{f}}{2}$恒成立,④� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知定义在R上的函数f（x）满足f′（x）-f（x）=（1-2x）e^-x，且f（0）=0则下列命题正确的是①②③④．（写出所有正确命题的序号）
①f（x）有极大值，没有极小值；
②设曲线f（x）上存在不同两点A，B处的切线斜率均为k，则k的取值范围是$-\frac{1}{e^2}＜k＜0$；
③对任意x₁，x₂∈（2，+∞），都有$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）≤\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立；
④当a≠b时，方程f（a）=f（b）有且仅有两对不同的实数解（a，b）满足e^a，e^b均为整数．

分析由已知中函数f（x）满足f′（x）-f（x）=（1-2x）e^-x，可得f（x）=xe^-x，f′（x）=（1-x）e^-x，逐一分析四个命题的真假，可得答案．

解答解：①∵f′（x）-f（x）=（1-2x）e^-x，
∴f（x）=xe^-x，f′（x）=（1-x）e^-x，
令f′（x）＞0，解得：x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴函数f（x）在（-∞，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴函数f（x）的极大值是f（1），没有极小值；
故①正确；
②∵k=f′（x）=（1-x）e^-x，
∴f″（x）=e^-x（x-2），
令f″（x）＞0，解得：x＞2，令f″（x）＜0，解得：x＜2，
∴f′（x）在（-∞，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴f′（x）_最小值=f′（x）_极小值=f′（2）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
而x→∞时，f′（x）→0，
∴k的取值范围是$-\frac{1}{e^2}＜k＜0$；
故②正确；
③结合①②函数f（x）在（2，+∞）上是凹函数，
∴$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）≤\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立，
故③正确；
④当a≠b时，方程f（a）=f（b），不妨令a＜b，
则a∈（0，1），
则e^a∈（1，e），
又有e^a为整数．
故e^a=e^b=2，
同理a＞b时，也存在一对实数（a，b）使e^a=e^b=2，
故有两对不同的实数解（a，b）满足e^a，e^b均为整数．
故④正确；
故答案为：①②③④