Question

10．设f（x）=$\frac{{|{ax+1}|-|{2x-1}|}}{|x|}$．
（1）当a=2时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若对任意a∈（0，1），x∈{x|x≠0}，不等式f（x）≤b恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（2）问题转化为b≥f（x）_max=a+2，求出b的范围即可．

解答 解：（1）当a=2时，由f（x）＞1得，|2x+1|-|2x-1|＞|x|，
x＞$\frac{1}{2}$时，2x+1-2x+1＞x，解得：x＜2；
0≤x≤$\frac{1}{2}$时，2x+1+2x-1＞x，解得：x＞0，
-$\frac{1}{2}$＜x＜0时，2x+1+2x-1＞-x，解得：x＞0（舍），
x≤-$\frac{1}{2}$时，-2x-1+2x-1＞-x，解得：x＞2（舍），
所以不等式f（x）≥1的解集为（0，2）；
（2）不等式f（x）≤b得：
b≥f（x）_max，$\frac{|ax+1|-|2x-1|}{|x|}≤\frac{|ax+2x|}{|x|}=|a+2|$，
∴b≥f（x）_max=a+2，
又因为对任意的a∈（0，1）恒成立，
所以b≥3．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立问题以及分类讨论思想，是一道中档题．