Question

15．已知数列{a_n}，首项为a₁=λ（λ∈R），前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若λ=0，求数列{a_n•ln（a_n+1）}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n+1=2S_n+n，n=1时，a₁+a₂=2a₁+1，可得a₂=λ+1．当n≥2时，可得：a_n+1=2a_n+1，变形为a_n+1+1=2（a_n+1），上式对于n=1时不成立，因此当λ≠-2时，数列{a_n+1}从第二起是等比数列，公比为2．λ=-2时，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2，n=1}\\{-1，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）λ=0，由（1）可得：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{{2}^{n-1}-1，n≥2}\end{array}\right.$=2^n-1-1（n=1时也成立）．可得：a_n•ln（a_n+1）=（n-1）•2^n-1-（n-1）．利用“错位相减法”与等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+1=2S_n+n，∴n=1时，a₁+a₂=2a₁+1，可得a₂=λ+1．
当n≥2时，S_n=2S_n-1+（n-1），可得：a_n+1=2a_n+1，变形为a_n+1+1=2（a_n+1），
上式对于n=1时，不成立，因此当λ≠-2时，数列{a_n+1}从第二起是等比数列，公比为2．
∴a_n+1=（λ+2）×2^n-2，即a_n=（λ+2）×2^n-2-1，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{λ，n=1}\\{（λ+2）×{2}^{n-2}-1，n≥2}\end{array}\right.$．
λ=-2时，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2，n=1}\\{-1，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）λ=0，由（1）可得：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{{2}^{n-1}-1，n≥2}\end{array}\right.$=2^n-1-1（n=1时也成立）．
∴a_n•ln（a_n+1）=（n-1）（2^n-1-1）=（n-1）•2^n-1-（n-1）．
设数列{（n-1）•2^n-1}的前n项和为A_n．
则A_n=0+2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1．
2A_n=2²+2×2³+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ，
∴-A_n=2+2²+…+2^n-1-（n-1）•2ⁿ=$\frac{2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（n-1）•2ⁿ=（2-n）•2ⁿ-2，
∴A_n=（n-2）•2ⁿ+2．
∴数列{a_n•ln（a_n+1）}的前n项和T_n=（n-2）•2ⁿ+2-$\frac{n（n-1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．