Question

14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱与最短的棱所成角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由三视图知该几何体是一个四棱柱P-ABCD，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，从而可得最短、最长的棱长以及长度，由图和余弦定理求出答案．

解答 解：根据三视图可知几何体是一个四棱柱P-ABCD，
且底面是直角梯形，AB⊥AD、AD∥CB，且AB=BC=4、AD=2，
PA⊥平面ABCD，PA=4，
由图可得，最短的棱是AD=2，
最长的侧棱长是PC=$\sqrt{A{P}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{A{P}^{2}+A{B}^{2}+B{C}^{2}}$
=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
且PB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}=4\sqrt{2}$，
∵AD∥BC，∴最长的棱PC与最短的棱AD所成角是∠PCB，
在直角三角形PBC中，cos∠PCB=$\frac{P{C}^{2}+B{C}^{2}-P{B}^{2}}{2PC•BC}$
=$\frac{16×3+16-32}{2×4\sqrt{3}×4}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查几何体的三视图，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．