Question

已知a≥0，若函数f（x）=

(x+a)2

x2+1

在[-1，1]上为增函数，则a的取值集合为_______．

Answer 1

由题意f′（x）=

2(x+a)(x2+1)-2x(x+a)2

(x2+1)2

=

2x-2a2x-2ax2+2a

(x2+1)2

∵a≥0，若函数f（x）=

(x+a)2

x2+1

在[-1，1]上为增函数，
∴2x-2a²x-2ax²+2a＞0在[-1，1]上恒成立
由于y=2x-2a²x-2ax²+2a是开口向下的二次函数
故有y（1）＞0，y（-1）＞0
∴

2-2a2-2a +2a＞0 -2+2a2-2a +2a＞0

即

2-2a2＞0 -2+2a2＞0

即a²=2，故a=1
a的取值集合为{1}
故答案为{1}