Question

16．已知点A（0，3），B（1，0），C（3，m），P为线段AB上任意一点，过点P作直线l，l与以C为圆心、以$\frac{\sqrt{10}}{3}$为半径的圆交于两点M、N，若M恰为线段PN中点，则实数m的取值范围是$[2，\sqrt{6}]$．

Answer 1

分析 由题意画出图象，考虑两种极端情况：当点P在A点和B点时，分别由条件、图象、两点之间的距离公式列出不等式，利用求出m的取值范围．

解答 解：由题意画出图象：
考虑两种极端情况：
当点P在A点时，设直线AC与圆相交于M、N两点，
只要|MN|＞|AM|时，适当绕点P转动总有一个位置满足
|MN|=|AM|，
故|MN|＞|AM|，即3r≥|AC|，
可得$\sqrt{10}≥\sqrt{{3}^{2}+（3-m）^{2}}$，化简得2≤m≤4；
当点P在B点时，同理可得3r≥|BC|，
可得$\sqrt{10}≥\sqrt{{2}^{2}+{m}^{2}}$，化简得$-\sqrt{6}$≤m≤$\sqrt{6}$，
综上可得，实数m的取值范围是$[2，\sqrt{6}]$，
故答案为：$[2，\sqrt{6}]$．

点评 本题考查直线与圆的文职关系，两点之间的距离公式，考查了分析、解决问题的能力，以及数形结合思想．