Question

    设A、B分别为双曲线，的左、右两个顶点，P为双曲线上一点，|AB|=|BP|=4，∠PAB=30°.

（Ⅰ）求双曲线方程;

（Ⅱ）设M为（I）中双曲线上任一动点，过B点作直线l₁，使得l₁⊥BM，过A点作直线l₂，使得l₂⊥AM，l₁，l₂相交于点N，求点N的轨迹方程.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：（I）解法一：∵|AB|=4 ∴2a=4, ∴a=2 过P点做PC⊥x轴，C为垂足 在△ABP中，∵|AB|=|BP|=4，∠PAB=30° ∴∠PBC=2∠PAB=60° ∴|PC|=|PB|·sin60°=4· |BC|=|PB|·cos60°=4·　　 ∵双曲线方程为 ∴所求的双曲线方程为 （II）解法一，设M（x0,y0）, N(x,y) ∵A(－2，0)，B（2，0） NB⊥MB，NA⊥MA 　　 　　 　　 …………② 　　 　　   　　 　　 　　 …………① 　　 　　   　　 　　 　　 ………………③ 　　 　　   经检验点（2，0）、（－2，0）不合 ∴N点轨迹方程为x2－y2=4（点（2,0），（－2，0）除外） 解法二：设M（x0,y0）  N(x, y) ∵NB⊥MB，NA⊥MA 经检验点（2，0），（－2，0）不合题意 ∴N点轨迹方程为x2－y2=4（点（2，0），（－2，0）除外） 解法三：∵MA⊥NA ∴………………（1） 连接M、N，设M、N的中点为R. ∵MA⊥NA，NB⊥MB，  ∴， ∴|AR|=|RB|，∴R在y轴上. ∴…………（2） 把（2）代入（1）得： 由（3）、（4）代入 整理得 经检验，点（2，0）（－2，0）不合. ∴N点轨迹方程为x2－y2=4（点（2，0），（－2，0）除外）