Question

10．已知等比数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a₄=$\frac{1}{81}$．
（1）S_n为{a_n}的前n项和，证明：2S_n+a_n=1；
（2）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₁=$\frac{1}{3}$，a₄=$\frac{1}{81}$．可得$\frac{1}{81}$=$\frac{1}{3}×{q}^{3}$，解得q．再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可证明．
（2）log₃a_n=$lo{g}_{3}{3}^{-n}$=-n．可得b_n=-1-2-…-n，于是$\frac{1}{{b}_{n}}$=-2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）证明：设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁=$\frac{1}{3}$，a₄=$\frac{1}{81}$．∴$\frac{1}{81}$=$\frac{1}{3}×{q}^{3}$，解得q=$\frac{1}{3}$．
∴a_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$，S_n=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$，
∴2S_n+a_n=$1-\frac{1}{{3}^{n}}$+$\frac{1}{{3}^{n}}$=1，
∴2S_n+a_n=1．
（2）解：log₃a_n=$lo{g}_{3}{3}^{-n}$=-n．
b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-1-2-…-n=-$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=-2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和=-2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=-2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{-2n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．