Question

1．已知数列{a_n}的首项为1，S_n为数列{a_n}的前n项和，且满足S_n+1=qS_n+1，其中q＞0，n∈N^*，又2a₂，a₃，a₂+2成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=2a_n-λ（log₂a_n+1）²，若数列{b_n}为递增数列，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （I）根据a_n+1=S_n+1-S_n可得出{a_n}是等比数列，根据等差中项的定义列方程可求出公比q，从而得出{a_n}的通项公式；
（II）求出b_n，令b_n+1-b_n＞0可得λ＜$\frac{{2}^{n}}{2n+1}$恒成立，求出右侧数列的最小值即可得出λ的范围．

解答 解：（I）∵S_n+1=qS_n+1，∴当n≥2时，S_n=qS_n-1+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=qS_n-qS_n-1=qa_n，
又S₂=qS₁+1，a₁=S₁=1，
∴a₂=q=qa₁，
∴数列{a_n}是首项为1，公比为1的等比数列，
∵2a₂，a₃，a₂+2成等差数列，
∴2a₃=2a₂+a₂+2=3a₂+2，
即2q²=3q+2，解得q=2或q=-$\frac{1}{2}$（舍）．
∴a_n=2^n-1．
（II）b_n=2ⁿ-λn²，
∴b_n+1-b_n=2ⁿ⁺¹-λ（n+1）²-2ⁿ+λn²=2ⁿ-2nλ-λ，
∵数列{b_n}为递增数列，
∴2ⁿ-2nλ-λ＞0恒成立，即λ＜$\frac{{2}^{n}}{2n+1}$恒成立，
令c_n=$\frac{{2}^{n}}{2n+1}$，则c_n+1-c_n=$\frac{{2}^{n+1}}{2n+3}$-$\frac{{2}^{n}}{2n+1}$=2ⁿ（$\frac{2}{2n+3}-\frac{1}{2n+1}$）=2ⁿ$\frac{2n-1}{（2n+3）（2n+1）}$＞0，
∴{c_n}是递增数列，
∴c_n≥c₁=$\frac{2}{3}$，
∴λ＜$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了等比数列的性质，数列单调性的判断，属于中档题．