题目内容
如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B，D是A1C1的中点，证明：（Ⅰ）A1B∥平面B1CD
（Ⅱ）平面AB1C⊥平面A1BC1．
分析：（I）取AC的中点O，先证BO、A1O平行于平面B1CD，再证平面A1BO∥平面B1CD，由面面平行的性质可证A1B∥平面B1CD．
（II）证明平面AB1C内的直线B1C垂直平面A1BC1，内的两条相交直线A1B，BC1，即可证明平面AB1C⊥平面A1BC1．
（II）证明平面AB1C内的直线B1C垂直平面A1BC1，内的两条相交直线A1B，BC1，即可证明平面AB1C⊥平面A1BC1．
解答：证明：（I）取AC的中点O，连接OA1，OB．
∵OC∥A1D，OC=A1D，∴四边形A1OCD为平行四边形，∴A1O∥CD，
又A1O?平面B1CD，CD?平面B1CD，∴A1O∥平面B1CD，
同理可证BO∥平面B1CD，
又A1O∩BO=O，∴平面B1CD∥平面A1BO，又∵A1B?平面A1BO，
∴A1B∥平面B1CD．
（II）证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1
又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，
又B1C⊥平面A1BC1，又B1C?平面AB1C，
所以平面AB1C⊥平面A1BC1．
∵OC∥A1D，OC=A1D，∴四边形A1OCD为平行四边形，∴A1O∥CD，
又A1O?平面B1CD，CD?平面B1CD，∴A1O∥平面B1CD，
同理可证BO∥平面B1CD，
又A1O∩BO=O，∴平面B1CD∥平面A1BO，又∵A1B?平面A1BO，
∴A1B∥平面B1CD．
（II）证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1
又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，
又B1C⊥平面A1BC1，又B1C?平面AB1C，
所以平面AB1C⊥平面A1BC1．
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，考查空间想象能力，逻辑思维能力．
练习册系列答案
相关题目
如图三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱BB1与底面成60．角，AQ⊥底面A1B1C1于Q，AP⊥侧面BCC1B1于P，且A1Q⊥B1C1，AB=AC，AQ=3，AP=2则顶点A到棱B1C1的距离是
如图三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB、AC的中点，平面EFC1B1将三棱柱分成体积为V1，V2（左为V1，右为V2）两部分，则V1：V2=（ ）| A、7：5 | B、4：3 | C、3：1 | D、2：1 |
某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点上各安装一个灯泡，要求同一条线段的两端的灯泡颜色不同，则每种颜色的灯泡至少用一个的安装方法共有（ ）
