Question

16．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，线段D₁B₁上有两个动点E、F，且EF=1，则下列结论中错误的是（　　）

• A． AC⊥BE
• B． AA₁∥平面BEF
• C． 三棱锥A-BEF的体积为定值
• D． △AEF的面积和△BEF的面积相等

Answer 1

分析 选项A中，由AC⊥平面BB₁D₁D得出AC⊥BE，正确；
选项B中，由AA₁∥平面BDD₁B₁，平面BEF与平面BDD₁B₁重合，得出AA₁∥平面BEF，正确；
选项C中，由△BEF的面积为定值，点A到平面BEF的距离定值，得V_{三棱锥A-BEF}为定值，正确；
选项D中，由点A、B到直线B₁D₁的距离不相等，得△AEF的面积与△BEF的面积不相等，D错误．

解答 解：如图所示，
对于A，AC⊥平面BB₁D₁D，又BE?平面BB₁D₁D，
∴AC⊥BE，故A正确；
对于B，∵AA₁∥平面BDD₁B₁，又E、F在直线D₁B₁上运动，
∴平面BEF与平面BDD₁B₁重合，
∴AA₁∥平面BEF，故B正确；
对于C，由于点B到直线B₁D₁的距离不变，故△BEF的面积为定值；
又点A到平面BEF的距离为$\frac{2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，故V_{三棱锥A-BEF}为定值，C正确；
对于D，∵点A、B到直线B₁D₁的距离不相等，
∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．
故选：D．

点评 本题考查了直线与平面平行和垂直的判定问题，也考查了柱、锥体的面积与体积计算问题，是中档题．