Question

9．已知二次函数f（x）=x²+2bx+c（b，c∈R）．
（1）若函数y=f（x）的零点为-1和1，求实数b，c的值；
（2）若f（x）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系列方程组解出；
（2）根据f（1）=0得出b，c的关系，令g（x）=f（x）+x+b，根据零点的存在性定理列方程组解出．

解答 解：（1）∵-1，1是函数y=f（x）的零点，∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+1=-2b}\\{-1×1=c}\end{array}\right.$，解得b=0，c=-1．
（2）∵f（1）=1+2b+c=0，所以c=-1-2b．
令g（x）=f（x）+x+b=x²+（2b+1）x+b+c=x²+（2b+1）x-b-1，
∵关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（-3）＞0}\\{g（-2）＜0}\\{g（0）＜0}\\{g（1）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{5-7b＞0}\\{1-5b＜0}\\{-1-b＜0}\\{b+1＞0}\end{array}\right.$．解得$\frac{1}{5}$＜b＜$\frac{5}{7}$，
即实数b的取值范围为（$\frac{1}{5}$，$\frac{5}{7}$）．

点评 本题考查了二次函数根与系数得关系，零点的存在性定理，属于中档题．