Question

17．对于函数f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$（a∈R）
（Ⅰ）探索函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）是否存在实数a，使函数f（x）为奇函数？

Answer 1

分析 （Ⅰ）用指数函数、反比例函数的单调性可作出判断；
（Ⅱ）先设f（x）为奇函数，然后根据奇函数性质可得f（-x）=-f（x），由此求得a值．

解答 解：（Ⅰ）∵y=2^x单调递增，
∴y=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$单调递减，y=-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$单调递增，
∴f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$单调递增；
（Ⅱ）若f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），
∴a-$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$=-（a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$），即2a=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+$\frac{2•{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=2，
∴a=1，
故存在实数a=1使f（x）为奇函数．

点评 本题考查函数奇偶性、单调性的判断，属基础题．