Question

7．已知正六棱锥S-ABCDEF的底面边长为2，高为1，现从该棱锥的7个顶点中随机取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得的三角形的面积．
（1）求概率P（X=$\sqrt{3}$）的值；
（2）求X的分布列，并求其数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有${C}_{7}^{3}$=35种取法，求出X=$\sqrt{3}$的三角形的个数，由此能求出P（X=$\sqrt{3}$）．
（2）由题意，X的可能取值为$\sqrt{3}$，2，$\sqrt{6}$，2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的概率分布列和E（X）．

解答 解：（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，
共有${C}_{7}^{3}$=35种取法，其中X=$\sqrt{3}$的三角形如△ABF，
这类三角形共有6个，
∴P（X=$\sqrt{3}$）=$\frac{6}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{6}{35}$．
（2）由题意，X的可能取值为$\sqrt{3}$，2，$\sqrt{6}$，2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$，
其中，X=$\sqrt{3}$的三角形如△ABF，这类三角形共有6个，
其中，X=2的三角形有两类，如△SAD（3个），△SAB（6个），共9个，
其中X=$\sqrt{6}$的三角形如△SBD，这类三角形共有6个，
其中X=2$\sqrt{3}$的三角形如△CDF，这类三角形共有12个，
其中X=3$\sqrt{3}$的三角形如△BDF，这类三角形共有2个，
∴P（X=$\sqrt{3}$）=$\frac{6}{35}$，P（X=2）=$\frac{9}{35}$，
P（X=$\sqrt{6}$）=$\frac{6}{35}$，P（X=2$\sqrt{3}$）=$\frac{12}{35}$，
P（X=3$\sqrt{3}$）=$\frac{2}{35}$，
随机变量X的概率分布列为：

X	$\sqrt{3}$	2	$\sqrt{6}$	2$\sqrt{3}$	3$\sqrt{3}$
P	$\frac{6}{35}$	$\frac{9}{35}$	$\frac{6}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{2}{35}$

E（X）=$\sqrt{3}×\frac{6}{35}+2×\frac{9}{35}+\sqrt{6}×\frac{6}{35}$+$2\sqrt{3}×\frac{12}{35}$+3$\sqrt{3}×\frac{2}{35}$=$\frac{36\sqrt{3}+6\sqrt{6}+18}{35}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．