Question

16．（1）在△ABC中，求证：$\frac{a}{b}$-$\frac{b}{a}$=c（$\frac{cosB}{b}$-$\frac{cosA}{a}$）；
（2）在△ABC中，已知（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B），判定△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理进行推断、证明；
（2）由（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B），得（a²-b²）sinC=（a²+b²）sin（A-B），右边展开两角差的正弦，结合正弦定理和余弦定理得到a²=b²或a²+b²=c²，从而得出该三角形是等腰三角形或直角三角形．

解答 解：（1）根据余弦定理将cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$代入右边，得
右边=c（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2abc}$-$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2abc}$）=$\frac{2{a}^{2}-2{b}^{2}}{2ab}$=$\frac{a}{b}$-$\frac{b}{a}$=左边，
∴$\frac{a}{b}$-$\frac{b}{a}$=c（$\frac{cosB}{b}$-$\frac{cosA}{a}$）；
（2）∵（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B），
∴（a²-b²）sinC=（a²+b²）sin（A-B）=（a²+b²）（sinAcosB-cosAsinB），
∴（a²-b²）c=（a²+b²）（acosB-bcosA），
则（a²-b²）c=（a²+b²）（a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$），
整理得a²=b²或a²+b²=c²，
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．

点评 本题考查三角形形状的判断，考查了正弦定理和余弦定理的应用，涉及三角形形状的判断问题，要么化角为边，要么化边为角，是中档题．