Question

函数f(x)=2x-tanx在(0，

π

2

)上的最大值为

 

．

Answer 1

分析：求出函数的导数，令导数大于0，求出函数的单调区间，再由单调性判断出函数的最值并求出．

解答：解：∵f（x）=2x-tanx，
∴f′(x)=2-

1

cos2x

=2-

2

1+cos2x

令f'（x）=0得1+cos2x=1
又x∈(0，

π

2

)，得x=

π

4

，故当x∈(0，

π

4

)时导数为正，当x∈(

π

4

，

π

2

)时，导数为负
故函数在(0，

π

4

)上增，在(

π

4

，

π

2

)上减，所以当x=

π

4

时函数值取到最大值，最大值为f(

π

4

)=2×

π

4

-tan

π

4

=

π

2

-1．
故答案为

π

2

-1

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，求解本题的关键是正确求出函数的导数根据导数判断出最值在何处取到，本题中正切函数的导数求导方法是这样的，先切化弦再利用商的导数法则求导．