Question

11．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），若S_n为数列前n项和，则S₂₀₁₆=（　　）

• A． 2²⁰¹⁶-1
• B． 3•2¹⁰⁰⁸-3
• C． 2²⁰⁰⁹-3
• D． 2²⁰¹⁰-3

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），可得$\frac{{a}_{n+2}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=2，a₂a₁=2，解得a₂=2．可得数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比都为2，首项分别为1，2．即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+2}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=2，a₂a₁=2，解得a₂=2．
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比都为2，首项分别为1，2．
则S₂₀₁₆=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₅）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₆）
=$\frac{{2}^{1008}-1}{2-1}$+$\frac{2（{2}^{1008}-1）}{2-1}$
=3•2¹⁰⁰⁸-3．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．