Question

20．S_n为数列的前n项和，已知a_n＞0，a_n²+2a_n=4S_n-1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据条件等式分n=1与n≥2，利用a_n与S_n的关系可求得数列的通项公式．
（2）首先结合（1）求得a_n的表达式，然后利用等差数列求和公式求解即可．

解答 解：（1）依题意有（a_n+1）²=4S_n，①
当n=1时，（a₁-1）²=0，得a₁=1．
当n≥2时，（a_n-1+1）²=4S_n-1，②
有①-②得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，n≥2，
∴{a_n}成首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵{a_n}成首项为1，公差为2的等差数列，
∴{a_n}的前n项和S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²．

点评 本题考查数列的通项公式及前n项和公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．