Question

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n-1是a_n与S_n的等比中项，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 分别计算a₁，a₂，a₃，猜想a_n，利用数学归纳法进行证明．

解答 解：∵S_n-1是a_n与S_n的等比中项，
∴（S_n-1）²=a_n•S_n，
当n=1时，（a₁-1）²=a₁²，解得a₁=$\frac{1}{2}$，
当n=2时，（a₂-$\frac{1}{2}$）²=a₂（a₂+$\frac{1}{2}$），解得a₂=$\frac{1}{6}$，
当n=3时，（a₃-$\frac{1}{3}$）²=a₃（a₃+$\frac{2}{3}$），解得a₃=$\frac{1}{12}$．
猜想：a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，
证明：当n=1时，显然猜想成立，
假设n=k时猜想成立，即a_k=$\frac{1}{k（k+1）}$．
∴S_k=$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}$+…+$\frac{1}{k（k+1）}$=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$=$\frac{k}{k+1}$．
当n=k+1时，（S_k+1-1）²=a_k+1S_k+1，即（S_k+a_k+1-1）²=a_k+1（S_k+a_k+1），
∴（a_k+1-$\frac{1}{k+1}$）²=a_k+1（$\frac{k}{k+1}$+a_k+1），
∴a_k+1²-$\frac{2}{k+1}{a}_{k+1}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$=$\frac{k}{k+1}{a}_{k+1}$+a_k+1²．
∴a_k+1=$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$．
∴当n=k+1时猜想成立．
∴a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．

点评 本题考查了数学归纳法的应用，属于中档题．