题目内容
11．2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：
（1）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210），μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P（50.5＜Z＜94）．
（2）在（1）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次；
②每次赠送的随机话费和对应概率如下：
| 赠送话费（单位：元） | 10 | 20 |
| 概率 | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{3}$ |
附：$\sqrt{210}$≈14.5
若Z～N（μ，δ2），则P（μ-δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ-2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．
分析 （1）使用加权平均数公式计算；
（2）利用相互独立事件的概率公式计算各个概率，再列表即可．
解答 解：（1）E（Z）=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65，
∴μ=65，δ=$\sqrt{210}$≈14.5，
∴P（50.5＜Z＜79.5）=0.6826，P（36＜Z＜94）=0.9544，
∴P（79.5＜Z＜94）=$\frac{0.9544-0.6826}{2}$=0.1359，
∴P（50.5＜Z＜94）=P（50.5＜Z＜79.5）+P（79.5＜Z＜94）=0.6826+0.1359=0.8185．
（2）P（Z＜μ）=P（Z≥μ）=$\frac{1}{2}$，
X的可能取值为为{10，20，30，40}，
P（X=10）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，P（X=20）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{18}$，
P（X=30）=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，P（X=40）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{18}$．
∴X的分布列为：
| X | 10 | 20 | 30 | 40 |
| P | $\frac{1}{3}$ | $\frac{7}{18}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{1}{18}$ |
点评 本题考查了频率分布直方图，随机变量的分布列与正态分布，属于中档题．
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