Question

9．已知f（x）=|x-3|+|x+1|，g（x）=|x+1|-|x+a|-a．
（1）解不等式f（x）≥6；
（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；（2）根据绝对值的性质得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2x-2，x≥3}\\{4，-1＜x＜3}\\{-2x+2，x≤-1}\end{array}}\right.$，
当x≥3时，2x-2≥6解得x≥4，
当-1＜x＜3时，4≥6无解，
当x≤-1时，-2x+2≥6解得x≤-2．
∴f（x）≥6的解集为{x|x≤-2或x≥4}．
（2）由已知|x-3|+|x+1|≥|x+1|-|x+a|-a恒成立，
∴|x-3|+|x+a|≥-a恒成立，
又|x-3|+|x+a|≥|x-3-x-a|=|-3-a|=|a+3|，
∴|a+3|≥-a，
解得$a≥-\frac{3}{2}$，
∴$a∈[{-\frac{3}{2}，+∞}）$时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．