Question

不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A．

  1

  6

  ≤a≤1
• B．

  2

  13

  ≤a≤1
• C．

  1

  6

  ≤a≤

  2

  13

• D．

  1

  6

  ≤a≤2

  2

Answer 1

分析：令f（t）=

t

t2+9

=

1

t+ 9 t

，g（t）=

t+2

t2

=

t+2

(t+2)2-4(t+2)+4

=

1

(t+2)+ 4 t+2 -4

，由不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立即f（t）_max≤a≤g（t）_min，利用函数的单调性可求

解答：解：令f（t）=

t

t2+9

=

1

t+ 9 t

，则可得f（t）在t∈（0，2]单调递增，则有f（t）_max=f(2)=

2

13

令g（t）=

t+2

t2

=

t+2

(t+2)2-4(t+2)+4

=

1

(t+2)+ 4 t+2 -4

在（0，2}单调递减，则有g（t）_min=g（2）=1
∵不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立
∴f（t）_max≤a≤g（t）_min
∴

2

13

≤a≤1
故选：B

点评：本题主要考查了利用函数y=x+

k

x

(k＞0)的单调性求解函数的最值，及不等式恒成立与函数最值之间的转化．