Question

2．已知函数y=f（x）的定义域为[-1，1]，且f（-x）=-f（x），f（0）=1，当a，b∈[-1，1]且a+b≠0，时$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0恒成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性并证明结论；
（2）解不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{1}{x-1}$）

Answer 1

分析 （1）根据条件即可得出a-b≠0时，$\frac{f（a）+f（-b）}{a+（-b）}＞0$恒成立，进而得出$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}＞0$恒成立，根据增函数定义即可得出f（x）在[-1，1]上单调递增；
（2）根据（1）得出的f（x）的单调性，便可由$f（x+\frac{1}{2}）＜f（\frac{1}{x-1}）$得出$-1≤x+\frac{1}{2}＜\frac{1}{x-1}≤1$，解该不等式即可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）∵当a，b∈[-1，1]，且a+b≠0时，$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}＞0$恒成立；
∴$\frac{f（a）+f（-b）}{a+（-b）}＞0$，且f（-b）=-f（b）；
∴$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}＞0$；
∴a＜b时，f（a）＜f（b）；
∴f（x）在[-1，1]上是单调增函数；
（2）∵f（x）在[-1，1]上是单调增函数，且$f（x+\frac{1}{2}）＜f（\frac{1}{x-1}）$；
∴$-1≤x+\frac{1}{2}＜\frac{1}{x-1}≤1$；
解得$-\frac{3}{2}≤x＜-1$；
故所求不等式的解集为$[-\frac{3}{2}，-1）$．

点评 考查增函数的定义，根据增函数定义判断函数单调性的方法，根据函数单调性解不等式的方法．