Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=18，数列{b_n}的前n项和为T_n，且Tn+

1

2

bn=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和M_n；
（Ⅱ）求证数列{b_n}是等比数列，并求出其通项公式与前n项和T_n公式；
（III）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由a₂=6，a₅=18，可求首项及公差，进而可求通项公式及前n项和
（Ⅱ）由Tn+

1

2

bn=1，令n=1，可求b1=

2

3

．当n≥2时，由Tn+

1

2

bn=1，可得Tn-1+

1

2

bn-1=1，两式相减得Tn+

1

2

bn-Tn-1-

1

2

bn-1=0．即bn=

1

3

bn-1，利用等比数列的通项公式及前n项和公式可求
（III）由（I）（II）可得，cn=an•bn=4(2n-1)•(

1

3

)n，故考虑利用错位相减求数列的和

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
由a₂=6，a₅=18，
可得a₁+d=6，a₁+4d=18，
解得a₁=2，d=4．
从而a_n=4n-2，M_n=2n²
（Ⅱ）由Tn+

1

2

bn=1，
令n=1，则b1+

1

2

b1=1，可得b1=

2

3

．
当n≥2时，Tn+

1

2

bn=1，Tn-1+

1

2

bn-1=1，
两式相减得Tn+

1

2

bn-Tn-1-

1

2

bn-1=0．
可得bn=

1

3

bn-1．
所以数列{b_n}是等比数列．
可得bn=2×(

1

3

)n，Tn=

2 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=1-

1

3n

．…（8分）
（Ⅲ）由cn=an•bn=4(2n-1)•(

1

3

)n．
则Sn=4[1×

1

3

+3×(

1

3

)2+5×(

1

3

)3+…+(2n-1)×(

1

3

)n]．

1

3

Sn=4[1×(

1

3

)2+3×(

1

3

)3+…+(2n-3)×(

1

3

)n+(2n-1)×(

1

3

)n+1]．
两式相减得

2

3

Sn=4[

1

3

+2×(

1

3

)2+2×(

1

3

)3+…+2×(

1

3

)n-(2n-1)×(

1

3

)n+1]．
整理得Sn=4-

4(n+1)

3n

点评：本题主要考查了利用基本量求解等差数列的通项公式及数列的和，及利用递推关系构造等比数列求解数列的通项公式，本题的难点在于（III）的错位相减求解数列的和