Question

6．已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，BC⊥CD，AC⊥平面BCD，且AC=2$\sqrt{2}$，BC=CD=2，则球O的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． 8π
• C． 16π
• D． 2$\sqrt{2}$π

Answer 1

分析 证明BC⊥平面ACD，三棱锥S-ABC可以扩充为以AC，BC，DC为棱的长方体，外接球的直径为体对角线，求出球的半径，即可求出球O的表面积．

解答 解：由题意，AC⊥平面BCD，BC?平面BCD，
∴AC⊥BC，∵BC⊥CD，AC∩CD=C，∴BC⊥平面ACD，
∴三棱锥S-ABC可以扩充为以AC，BC，DC为棱的长方体，外接球的直径为体对角线，
∴4R²=AC²+BC²+CD²=16，∴R=2，
∴球O的表面积为4πR²=16π．
故选：C．

点评 本题给出特殊的三棱锥，由它的外接球的表面积．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题．