Question

椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直

径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

解：（1）由题： ①

左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：d = = ②         …………………2分

由①②可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2－c 2 = 3．                   ………………3分   

∴所求椭圆 C 的方程为 ．          ………………4分

（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得

 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．

∴x1 + x2 = －，x1x2 = ，      ………………5分

且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + m．

∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 •= 0．       ………………6分

所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2 = (x1－2) (x2－2) + (kx1 + m) (kx2 + m)

= (k 2 + 1) x1x2 + (km－2) (x1 + x2) + m 2 + 4

= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 = 0 ．              ………………9分

整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴m = －k 或 m = －2k 都满足 △ > 0．  …………10分

若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k = k (x－2) 恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去；11分

若 m = －k 时，直线 l 为 y = kx－k = k (x－)， 恒过定点 (,0) ．  ………12分