Question

9．已知A，B，C在球O的球面上，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，且点O到平面ABC的距离为2，则球O的表面积为20π．

Answer 1

分析 证明BC为△ABC外接圆的直径，根据点O到平面ABC的距离为2，由勾股定理可得球O的半径为$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，即可求出球O的表面积．

解答 解：∵AB=1，BC=2，∠ABC=60°，
∴由余弦定理可得AC=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AB²+AC²=BC²，
∴AB⊥AC，
∴BC为△ABC外接圆的直径，
∵点O到平面ABC的距离为2，
∴由勾股定理可得球O的半径为$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
∴球O的表面积为4π•5=20π．
故答案为：20π．

点评 本题考查球的表面积计算问题，考查球的截面性质，考查运算能力，是基础题．