Question

8．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且满足sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则α+β的值为（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 根据αβ的取值范围，利用同角三角函数的基本关系分别求得cosα和sinβ，由两角和的余弦公式求得cos（α+β），则α+β的值可求．

解答 解：由α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴cosα＞0，sinβ＞0，
cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}=\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{10}）^{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}=\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=$\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由α，β∈（0，$\frac{π}{2}$）可得0＜α+β＜π，
∴α+β=$\frac{π}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查三角函数值的求法，两角和差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．