Question

3．如图，已知正方形ABCD的边长为1，E在CD延长线上，且DE=CD．动点P从点A出发沿正方形ABCD的边按逆进针方向运动一周回到A点，其中$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$，则下列命题正确的是①②．（填上所有正确命题的序号）
①当点P为AD中点时，λ+μ=1；
②λ+μ的最大值为3；
③若y为给定的正数，则一存在向量$\overrightarrow{AP}$和实数x，使$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\frac{\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AP}|}$．

Answer 1

分析 建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，可以得到 $\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$=（λ-μ，μ），然后根据相对应的条件加以判断即可．

解答 解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图，
则B（1，0），E（-1，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{AE}$（-1，1），
∴$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$=（λ-μ，μ），
当点P为AD中点时，
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，$\frac{1}{2}$），
∴λ-μ=0，μ=$\frac{1}{2}$，
故λ+μ=1；故①正确，
当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，
∴0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，
当P∈BC时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，
∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，
当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，
∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，
当P∈AD时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，
∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，
综上，0≤λ+μ≤3，
故②正确；
若存在向量$\overrightarrow{AP}$和实数x，使$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\frac{\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AP}|}$，（y为给定的正数），
则（x，0）+（$\frac{y（λ-μ）}{\sqrt{{（λ-μ）}^{2}{+μ}^{2}}}$，$\frac{yμ}{\sqrt{{（λ-μ）}^{2}{+μ}^{2}}}$）=（0，1），
即（x+$\frac{y（λ-μ）}{\sqrt{{（λ-μ）}^{2}{+μ}^{2}}}$，$\frac{yμ}{\sqrt{{（λ-μ）}^{2}{+μ}^{2}}}$）=（0，1），
∴x+$\frac{λ}{μ}$=1，与y无关，
故③错误，
故答案为：①②．

点评 本题考查向量加减的几何意义，涉及分类讨论，是易错题．