Question

19．已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1，M是PB的中点．
（1）证明：CD⊥面PAD；
（2）求直线AC与PB所成的角；
（3）求点P到平面MAC的距离．

Answer 1

分析 （1）利用直角梯形的性质可得：CD⊥AD．利用PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD，再利用线面垂直的性质定理即可证明．
（2）如图，以点A为原点，AD为X轴，AB为Y轴，AP为Z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量夹角公式即可得出．
（3）设平面MAC的法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，利用 $\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow n=0}\\{\overrightarrow{MC}•\overrightarrow n=0}\end{array}}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．利用点P到平面MAC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 （1）证明；∵四棱锥P-ABCD底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，
∴CD⊥AD，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，又AD∩PA=A．
∴CD⊥面PAD．
（2）解：如图，以点A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz．A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0）．
∵M是PB的中点，∴$M（{0，1，\frac{1}{2}}）$，
∵$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，2，-1），
∴$cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{PB}＞$=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴直线AC与PB所成的角的余弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．
（3）解：设平面MAC的法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，
∵$\overrightarrow{MA}$=$（0，1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{MC}$=$（1，0，-\frac{1}{2}）$．
由 $\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow n=0}\\{\overrightarrow{MC}•\overrightarrow n=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{y+\frac{1}{2}z=0}\\{x-\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow n=（{1，-1，2}）$．
∵$\overrightarrow{PA}=（{0，0，-1}）$，
∴点P到平面MAC的距离$d=\frac{{|{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{|{-2}|}}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、异面直线所成的角、直角梯形的性质、法向量的应用、点到直线的距离公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．