Question

13．已知函数f（x）=x³-3ax²+2bx在点x=1处有极小值-1．
（1）确定a，b的值，
（2）求f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 （1）先求导函数，利用函数f（x）在x=3处取得极小值是3，可得f′（3）=0，f（3）=3，从而可求a、b的值；
（2）利用（1）得到的函数的解析式，通过导函数为0，求出极值点，然后求解函数的单调区间以及函数的极值即可．

解答 （本小题10分）
解：（ 1 ）∵函数f（x）=x³-3ax²+2bx，∴f′（x）=3x²-6ax+2b，
函数f（x）=x³-3ax²+2bx在点x=1处有极小值-1．
f′（1）=3-6a+2b=0，…①
∴f（1）=1-3a+2b=-1，…②
解①②得a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）f′（x）=3x²-2x-1，导函数的零点x=1，x=$-\frac{1}{3}$，
在区间（-∞，$-\frac{1}{3}$）和（1，+∞）上，函数f（x）为增函数；在区间（$-\frac{1}{3}$，1）内，函数f（x）为减函数．
f（x）的极大值为$\frac{2}{27}$；f（x）的极小值为-1

点评 本题考查函数的动手的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．