Question

12．已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切．
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）过（1）中轨迹M上的点P（1，2）作两条直线分别与轨迹M相交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）两点，试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题及抛物线的定义知，轨迹M是以定点（1，0）为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，由此能求出动圆圆心的轨迹M的方程．
（2）由点差法求出${k_{CD}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{4}{{{y_1}+{y_2}}}$，设直线PC的斜率为k，则直线PD的斜率为-k，从而l_PC：y-2=k（x-1），则由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y-2=k（{x-1}）}\end{array}}\right.⇒k{y^2}-4y-4k+8=0$，从而得到${y_1}=\frac{4}{k}-2$，同理得${y_2}=-\frac{4}{k}-2$，由此能求出直线CD的斜率为定值-1．

解答 解：（1）由题及抛物线的定义知，轨迹M是以定点（1，0）为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，
∴$\frac{ϕ}{2}=1$，∴ϕ=2，
即动圆圆心的轨迹M的方程为：y²=4x…（4分）
（2）由题知$\left\{{\begin{array}{l}{y_1^2=4{x_1}\;\;\;\;①}\\{y_2^2=4{x_2}②}\end{array}}\right.$，
由①-②得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴${k_{CD}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{4}{{{y_1}+{y_2}}}$…（6分）
设直线PC的斜率为k，则直线PD的斜率为-k，
∴l_PC：y-2=k（x-1），则由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y-2=k（{x-1}）}\end{array}}\right.⇒k{y^2}-4y-4k+8=0$，
∴${y_1}+2=\frac{4}{k}$，∴${y_1}=\frac{4}{k}-2$，
同理得${y_2}=-\frac{4}{k}-2$…（10分）
∴${k_{CD}}=\frac{4}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{4}{{（{\frac{4}{k}-2}）+（{-\frac{4}{k}-2}）}}=-1$，
即直线CD的斜率为定值-1．…（12分）

点评 本题考查动圆圆心的轨迹方程的求法，考查直线的斜率是否为定值的判断与求法，考查圆的方程、直线与圆的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．