Question

20．已知f （x）、g（x）都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h （x）=m f（x）+ng（x），那么称h （x）为f （x）、g（x）在R上生成的函数．
设f （x）=x²+x、g（x）=x+2，若h （x）为f （x）、g（x）在R上生成的一个偶函数，且h（1）=3，则函数h（-1）=3h （x）=-3x²+6．

Answer 1

分析 先得到h（x）=mx²+（m+n）x+2n，根据h（x）为偶函数及h（1）=3便可得出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{m+n=0}\\{m+2n=3}\end{array}\right.$，这样解出m，n，便可求出h（x），并可得到h（-1）=3．

解答 解：h（x）=mf（x）+ng（x）
=m（x²+x）+n（x+2）
=mx²+（m+n）x+2n；
h（x）为偶函数；
∴m+n=0①；
又h（1）=3；
∴m+m+n+2n=3②；
联立①②解得m=-3，n=3；
∴h（-1）=3，h（x）=-3x²+6．
故答案为：3，-3x²+6．

点评 考查对h（x）为f（x），g（x）在R上生成函数的定义的理解，以及偶函数的定义．